cálculoTIC1carolina

EJEMPLO


De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:

Relacionamos las variables:
2x + 2y = 12
x = 6 − y
Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.


Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.



Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.


La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

OPTIMIZACION 1

El objetivo es optimizar funciones de una sola variable, con la toolbox de Optimización
De MATLAB con el siguiente formato:
[X, fval, flag, output] = fminbnd (‘funcion’, x1, x2).
Donde ‘función’ = es la función a optimizar entre comillas y x1 y x2 definen el
Intervalo de búsqueda del mínimo.
La función también puede ser una función inline: f = inline ('función a optimizar');
O se puede crear una función de Matlab en un fichero *.m de la forma:
Function f = afun(x)
f = función a optimizar;
y la llamada a la función a optimizar en este caso será:
[X, fval, flag, output] = fminbnd (‘afun’, x1, x2).
La función fminbnd devuelve el punto óptimo de la función (x), el valor de la función en
Ese punto (feval), un flag para decirnos si la optimización ha ido bien (flag=1) o si ha
Ido mal (flag=0), y en output me devuelve el algoritmo de optimización utilizado, y el
Número de iteraciones realizadas para alcanzar el óptimo.
Minimizar las funciones: y(x) = 4x3 + 2x2 - 6x –1 en el intervalo [0,20]
y(x) =(sen(x) + sen(x/5)) * e x /10 en los intervalos: [0, 40] y
[20,40].

Ejemplos
sobre optimización de funciones En la resolución de problemas de optimización de funciones seguiremos los siguientes pasos: 1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar. 2. Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en caso de que haya más de una variable. 3. Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función, de modo que nos quedé una sola variable. 4. Derivar la función e igualarla a cero, para hallar los extremos locales. 5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido. Ejemplo 1 Recortando convenientemente en cada esquina una lámina de cartón de dimensiones 80 cm. x 50 cm. un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que el volumen de dicha caja sea máximo.

PUNTOS CRITICOS MAXIMOS Y MINIMOS
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto critico mínimo relativo, o simplemente mínimo.
Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.
Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos.

PUNTOS CRITICOS INFLEXION
Un punto I(a,f(a)) es de inflexión si en dicho punto la función pasa de cóncava a convexa o viceversa.
Proposición.
Sea f dos veces derivable en a.
Si a es punto de inflexión, entonces f´´(a) = 0

tambien Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasan de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.

CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA
La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.
2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.
3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con ac en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.


CRITERIOS DE LA SEGUNDA DERIVADA
Uno de los órdenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función.

El criterio de la segunda derivada, para determinar máximos y mínimo, resulta ser un criterio mas fácil de aplicar que el criterio de la primera, aunque el análisis del método no es tan simple como el de la primera derivada. Se recomienda revisar los problemas resueltos en la sección de aplicaciones de las derivadas. (13.7 MB)


Criterio de la segunda derivada

Uno de los ordenes de derivación es el de la segunda derivada, aunque no es despreciable la utilización de las derivadas de orden superior, sobre todo en cálculo de errores. Curiosamente las aplicaciones físicas implican, por lo general, derivadas de segundo orden como podría ser las ecuaciones de movimiento.

En esta sección presentaremos una interpretación gráfica de los criterios de la segunda derivada que nos servirá para poder obtener los máximos o mínimos de una función.